Fórmula integral de Cauchy

En matemáticas, a fórmula integral de Cauchy, denominada así por Augustin-Louis Cauchy, é a afirmación central da análise complexa. Expresa o feito de que unha función holomorfa definida sobre un disco está completamente determinada polos seus valores na fronteira do disco e achega fórmulas integrais para todas as derivadas dunha función holomorfa. A fórmula de Cauchy mostra que, na análise complexa, "a diferenciación é equivalente á integración": a diferenciación complexa, como a integración compórtase ben baixo límites uniformes, o que non ocorre na análise real.

Teorema

Comézase cun teorema que é menos xeral que o que se pode dicir. Supóñase que U é un conxunto aberto do plano complexo C, f : U → C é unha función holomorfa e o disco pechado D = { z : | z − z₀| ≤ r} está completamente contido en U. Sexa $\gamma$ o círculo que forma a fronteira de D. Entón para cada a no interior de D:

$f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz$

onde a integral de contorno se toma en sentido contrario ás agullas do reloxo.

A demostración desta afirmación emprega o teorema integral de Cauchy e como nese teorema só require que f sexa complexa diferenciable. Posto que o recíproco do denominador é o integrando na fórmula integral de Cauchy pode expandirse como serie de potencias na variable (a − z₀) (especialmente, cando z₀=0, $[1+a/z+(a/z)^{2}+...]/z$), séguese que as funcións holomorfas son analíticas. En particular f é infinitamente diferenciable, con

$f^{(n)}(a)={\frac {n!}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}\,dz.$

Esta fórmula denomínase en ocasións fórmula de diferenciación de Cauchy.

O teorema pode xeneralizarse. O círculo γ pode substituírse por calquera curva rectificable en U que ten número de enrolamento un en a. Ademais, para o teorema integral de Cauchy, abonda con requirir que f sexa holomorfa na rexión aberta arrodeada polo camiño e continua na súa clausura.

Cómpre notar que non todas as funcións continuas na fronteira poden empregarse para producir unha función dentro da fronteira que concorde coa función dada. Por exemplo, se se pon a función definida por |z|=1, $f(z)=1/z$ dentro da fórmula integral de Cauchy conséguese cero para todos os puntos dentro do círculo. De feito, dar só a parte real sobre a fronteira dunha función holomorfa abonda para determinar a función á parte dunha constante imaxinaria. Pode empregarse unha combinación da transformación de Möbius e da fórmula de inversión de Stieltjes para construír a función holomorfa dende a parte real da fronteira. Por exemplo, a función $f(z)=i-iz$ ten parte real ${\text{Re}}(f(z))={\text{Im}}(z)$. Sobre o círculo unidade pode escribirse $(i/z-iz)/2$. Empregando a transformación de Möbius e a fórmula de Stieltjes constrúese dentro do círculo. O termo i/z non ten contribución, e atópase a función $-iz$. Esta ten a parte real correcta sobre a fronteira e tamén da a parte imaxinaria correspondente, á parte da constante i.

Bosquexo da demostración

Empregando o teorema integral de Cauchy, pode verse que a integral sobre C (ou a curva pechada rectificable) é igual á mesma integral tomada sobre un círculo pequeno arbitrario arredor de a. Posto que f(z) é continua, pode escollerse un círculo o bastante pequeno no que f(z) está arbitrariamente próximo a f(a). Da outra banda, a integral

$\oint _{C}{\frac {1}{z-a}}\,dz=2\pi i,$

sobre calquera círculo C centrado en a. Isto pode calcularse directamente mediante un cambio de variable $z(t)=a+\varepsilon e^{it}$ onde 0 ≤ t ≤ 2π e ε é o raio do círculo.

Facendo ε → 0 chégase ao valor esperado

${\begin{aligned}\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)}{z-a}}\,dz-f(a)\right|&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(z)-f(a)}{z-a}}\,dz\right|\\[.5em]&=\left|{\frac {1}{2\pi i}}\int _{0}^{2\pi }\left({\frac {f(z(t))-f(a)}{\varepsilon \cdot e^{i\cdot t}}}\cdot \varepsilon \cdot e^{i\cdot t}i\right)\,dt\right|\\&\leq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {|f(z(t))-f(a)|}{\varepsilon }}\,\varepsilon \,dt\\[.5em]&\leq \max _{|z-a|=\varepsilon }|f(z)-f(a)|{\xrightarrow[{\varepsilon \to 0}]{}}0.\end{aligned}}$

Exemplo

Superficie da parte real da función g(z) = z² / (z² + 2z + 2) e as súas singularidades, cos contornos descritos no texto.

Sexa

$g(z)={\frac {z^{2}}{z^{2}+2z+2}}$,

e sexa C o contorno descrito por |z| = 2 (i.e. o círculo de raio 2).

Para atopar a integral de g(z) arredor do contorno C, necesítase coñecer as singularidades de g(z). Obsérvase que se pode reescribir g como segue:

$g(z)={\frac {z^{2}}{(z-z_{1})(z-z_{2})}}$

onde $z_{1}=-1+i,$ $z_{2}=-1-i.$

Así, g ten polos en $z_{1}$ e $z_{2}$. O módulo destes puntos é menor que 2 e entón está dentro do contorno. Esta integral pode separarse en dúas integrais máis pequenas mediante o teorema de Cauchy-Goursat; é dicir, pode expresarse a integral arredor do contorno como suma das integrais arredor de z₁ e z₂ onde o contorno é un círculo pequeno arredor de cada polo. Chámanse C₁ e C₂ aos contornos arredor de z₁ e z₂.

Agora, cada unha destas integrais pode resolverse coa fórmula integral de Cauchy, pero primeiro debe ser reescrita para poder aplicalo. Para a integral arredor de C₁, defínese f₁ como f₁(z)=(z-z₁)g(z). Esta é analítica, posto que o contorno non contén a outra singularidade. Pódese simplificar f₁ como:

$f_{1}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{2}}}$

e agora

$g(z)={\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}$.

Posto que o teorema integral de Cauchy di que:

$\oint _{C}{\frac {f_{1}(z)}{z-a}}\,dz=2\pi i\cdot f_{1}(a)$,

pódese avaliar a integral como segue:

$\oint _{C_{1}}g(z)\,dz=\oint _{C_{1}}{\frac {f_{1}(z)}{z-z_{1}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}.$

Facendo o mesmo no outro contorno:

$f_{2}(z)={\frac {z^{2}}{z-z_{1}}},$

$\oint _{C_{2}}g(z)\,dz=\oint _{C_{2}}{\frac {f_{2}(z)}{z-z_{2}}}\,dz=2\pi i{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}.$

A integral arredor do contorno orixinal C é entón a suma destas dúas integrais:

${\begin{aligned}\oint _{C}g(z)\,dz&{}=\oint _{C_{1}}g(z)\,dz+\oint _{C_{2}}g(z)\,dz\\[.5em]&{}=2\pi i\left({\frac {z_{1}^{2}}{z_{1}-z_{2}}}+{\frac {z_{2}^{2}}{z_{2}-z_{1}}}\right)\\[.5em]&{}=2\pi i(-2)\\[.3em]&{}=-4\pi i.\end{aligned}}$

Un truco elemental empregando a descomposición en fraccións simples:

$\oint _{C}g(z)dz=\oint _{C}\left(1-{\frac {1}{z-z_{1}}}-{\frac {1}{z-z_{2}}}\right)dz=0-2\pi i-2\pi i=-4\pi i$

Consecuencias

A fórmula integral ten amplas aplicacións. En primeiro lugar, implica que unha función holomorfa nun conxunto aberto é infinitamente derivable no mesmo. Ademais, é unha función analítica, o que quere dicir que pode representarse como serie de potencias. A demostración deste feito emprega o teorema de converxencia dominada e a serie xeométrica aplicada a

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(z)}{z-\zeta }}\,dz.$

Esta fórmula tamén se emprega para probar o teorema do resto, que é un resultado para funcións meromórficas, e un resultado relacionado, o principio do argumento. Sábese polo teorema de Morera que o límite uniforme de funcións holomorfas é holomorfo.

O resultado análogo da fórmula integral de Cauchy na análise real é a fórmula integral de Poisson para funcións harmónicas. Porén, non todos os resultados son válidos para clases máis xerais de funcións diferenciables ou analíticas reais. Por exemplo, a existencia da primeira derivada dunha función real non precisa implicar a existencia de derivadas de ordes superiores, nin en particular que a función sexa analítica. Así, o límite uniforme dunha sucesión de funcións diferenciables (reais) pode non ser diferenciable, ou pode ser diferenciables pero cunha derivada que non é o límite das derivadas dos termos da sucesión.

Outra consecuencia é que se f(z) = ∑ a_n zⁿ é holomorfa en |z| < R e 0 < r < R entón os coeficientes a_n satisfán a desigualdade de Cauchy

$\displaystyle {|a_{n}|\leq r^{-n}\sup _{|z|=r}|f(z)|.}$

Da desigualdade de Cauchy pode deducirse que toda función enteira limitada debe de ser constante (teorema de Liouville).

Xeneralización

Funcións suaves

Unha versión da fórmula integral de Cauchy é a fórmula de Cauchy-Pompeiu, e tamén séguese nas funcións suaves, como establece o teorema de Stokes. Sexa D un disco en C e supóñase que f é unha función complexa continuamente diferenciable C¹ na clausura de D. Entón

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)dz}{z-\zeta }}-{\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.$

Pode empregarse esta fórmula de representación para resolver ecuacións de Cauchy-Riemann non homoxéneas en D. De feito, se φ é unha función en D, entón unha solución particular f da ecuación é unha función holomorfa fóra do soporte de μ. Ademais, se nun conxunto aberto D,

$d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\phi \,dz\wedge d{\bar {z}}$

para algún φ ∈ C^k(D) (k ≥ 1), entón $f(\zeta ,{\bar {\zeta }})$ está tamén en C^k(D) e satisfai a ecuación

${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\phi (z,{\bar {z}}).$

Esta primeira conclusión equivale sucintamente a que a convolución μ∗k(z) dunha medida compacta co núcleo de Cauchy

$k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}$

é unha función holomorfa fóra do soporte de μ. Aquí p.v. denota o valor principal. A segunda conclusión afirma que o núcleo de Cauchy é unha solución fundamental das ecuacións de Cauchy–Riemann. Nótese que para funcións complexas suaves f de soporte compacto sobre C a fórmula integral de Cauchy xeneralizada simplifícase como

$f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},$

E é unha repetición do feito de que, considerado como distribución, $(\pi z)^{-1}$ é unha solución fundamental do operador de Cauchy-Riemann $\partial /\partial {\overline {z}}$. A fórmula integral de Cauchy xeneralizada pode deducirse de calquera rexión aberta limitada X con fronteira ∂X a partir deste resultado e da fórmula para a derivada distribucional da función característica χ_X de X:

${\partial \chi _{X} \over \partial {\overline {z}}}={i \over 2}\oint _{\partial X}dz,$

onde a expresión á dereita denota a integral de contorno ao longo de ∂X.

Varias variables

Na análise de varias variables complexas, a fórmula integral de Cauchy pode xeneralizarse a polidiscos. Sexa D o polidisco dado polo produto cartesiano de n discos abertos D₁, ..., D_n:

$D=\prod _{i=1}^{n}D_{i}.$

Supoñendo que f é unha función holomorfa en D continua da clausura de D. Entón

$f(\zeta )={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int \cdots \iint _{\partial D_{1}\times \dots \times \partial D_{n}}{\frac {f(z_{1},\dots ,z_{n})}{(z_{1}-\zeta _{1})\dots (z_{n}-\zeta _{n})}}\,dz_{1}\cdots dz_{n}$

onde ζ = (ζ₁,...,ζ_n) ∈ D.

En álxebras reais

A fórmula integral de Cauchy é xeneralizable a espazos vectoriais reais de dúas ou máis dimensións. A vista desta propiedade provén da álxebra xeométrica, na que se consideran obxectos alén dos escalares e dos vectores (como os bivectores planos e os trivectores volumétricos) e a propia xeneralización do teorema de Stokes.

O cálculo xeométrico define un operador derivado $\nabla ={\hat {e}}_{i}\partial _{i}$ baixo o seu produto xeométrico, é dicir, para un $k$-vector corpo $\psi ({\vec {r}})$, a derivada $\nabla \psi$ xeralmente contén termos de grao $k+1$ e $k-1$. Por exemplo, un corpo de vectores ($k=1$) xeralmente ten na súa derivada unha parte escalar, a diverxencia ($k=0$), e unha parte bivectorial ($k=2$). Este operador derivado particular ten unha función de Green:

$G({\vec {r}},{\vec {r}}')={\frac {1}{S_{n}}}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{n}}}$

onde $S_{n}$ é a superficie dunha bóla unidade no espazo (é dicir, $S_{2}=2\pi$, a circunferencia dun círculo con raio 1, e $S_{3}=4\pi$, a superficie dunha esfera de raio 1). Por definición dunha función de Green, $\nabla G({\vec {r}},{\vec {r}}')=\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')$. Esta propiedade útil pode empregarse xunto co teorema xeneralizado de Stokes:

$\oint _{\partial V}d{\vec {S}}\;f({\vec {r}})=\int _{V}d{\vec {V}}\;\nabla f({\vec {r}})$

onde, para un espazo vectorial $n$-dimensional, $d{\vec {S}}$ é un $(n-1)$-vector e $d{\vec {V}}$ é un $n$-vector. A función $f({\vec {r}})$ pode, en principio, estar composta de multivectores. A demostración do teorema integral de Cauchy para dimensións superiores xace no uso do teorema de Stokes xeneralizado sobre $G({\vec {r}},{\vec {r}}')f({\vec {r}}')$ e da regra do produto:

$\oint _{\partial V'}G({\vec {r}},{\vec {r}}')\;d{\vec {S}}'\;f({\vec {r}}')=\int _{V}\left([\nabla 'G({\vec {r}},{\vec {r}}')]f({\vec {r}}')+G({\vec {r}},{\vec {r}}')\nabla 'f({\vec {r}}')\right)\;d{\vec {V}}$

onde $\nabla {\vec {f}}=0$, $f({\vec {r}})$ se chama función monoxénica, xeneralización de funcións holomorfas a espazos de dimensións superiores. Con esta condición, o segundo membro á dereita da integral desaparece, quedando só

$\oint _{\partial V'}G({\vec {r}},{\vec {r}}')\;d{\vec {S}}'\;f({\vec {r}}')=\int _{V}[\nabla 'G({\vec {r}},{\vec {r}}')]f({\vec {r}}')=-\int _{V}\delta ({\vec {r}}-{\vec {r}}')f({\vec {r}}')\;d{\vec {V}}=-i_{n}f({\vec {r}})$

where $i_{n}$ is that algebra's unit $n$-vector, the pseudoscalar. The result is

$f({\vec {r}})=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}G({\vec {r}},{\vec {r}}')\;d{\vec {S}}\;f({\vec {r}}')=-{\frac {1}{i_{n}}}\oint _{\partial V}{\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}'}{S_{n}|{\vec {r}}-{\vec {r}}'|^{n}}}\;d{\vec {S}}\;f({\vec {r}}')$

Así, como no caso bidimensional (análise complexa), o valor dunha función analítica nun punto pode calcularse coa integral sobre a superficie arredor do punto, e isto é válido non só para funcións escalares senón tamén para funcións vectorais.

Véxase tamén

Bibliografía

• Ahlfors, Lars (1979). Complex analysis (3rd ed.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-000657-7. .
• [1]Arquivado 05 de febreiro de 2012 en Wayback Machine. [2] D. Pompeiu, Sur la continuité des fonctions de variables complexes, Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 2, 7 no. 3 (1905), p. 265–315
• Titchmarsh, E.C. (1939). Theory of functions (2nd ed.). Oxford University Press. 
• Hörmander, Lars (1966). An introduction to complex analysis in several variables. Van Nostrand. 
• Hörmander, Lars (1983). The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer. ISBN 3-540-12104-8. 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony (2003). Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-71595-9.